习题 8, § 3

设 A 为环，B A-代数（不一定可交换），E 为有限生成的左B-模。

(a) 令 S 为 A 的乘法子集，并令 $S^{-1}B = S^{-1}A \otimes_A B$ 被赋予其$S^{-1}A$-代数结构；然后$S^{-1}E$可以被认为是与$S^{-1}B \otimes_B E$同构的左$S^{-1}B$模块（代数，章VIII，no. 1）。证明，如果 E 是平的 B-模，则 $S^{-1}E$ 是平的 $S^{-1}B$ 模

(b) 令 $(S_\lambda)_{\lambda \in L}$ 为 A 的乘法子集族，使得对于 A 的每个最大理想 m，都存在 $\lambda \in L$ 使得 $m \cap S_\lambda = \varnothing$。证明 $\bigoplus_{\lambda \in L} S_\lambda^{-1}B$ 是忠实平坦的 B-模（向左或向右；cf. § 2、习题 8）。证明，如果对于所有 $A \in L$，$S_\lambda^{-1}E$ 是平坦（或忠实平坦）$S_\lambda^{-1}B$ 模，则 E 是平坦（或忠实平坦）B-模（使用章 I, § 3、习题 9，以及 $C_\lambda = S_\lambda^{-1}A$）。

(c) 假设 $S_\lambda$ 满足条件 (b) 且 L 是有限的。证明，如果对于每个 $A \in L$，$S_\lambda^{-1}E$ 是有限生成的射影 $S_\lambda^{-1}B$ 模，则 E 是有限生成的射影 B-模。