习题 15, § 4

令 $A$ 为环，且 $a$ 为 $A$ 的有限生成理想。证明以下性质是等价的：($a$)$a^2 = a$； ($\beta$)$A$由幂等生成； (y) $V(a)$ 在 $X = \operatorname{Spec}(A)$ 中既开又闭，并且 $a$ 在理想 $b$ 中是最小的，使得 $r(b) = r(a)$（使用 § 2，推论 3 到命题 4）。给出例，其中 $a^2 = a$、$a$ 不是有限生成的，且包含不是幂等的（cf. § 2、习题 15）。