习题 16, § 4

(a) 令 $A$ 为绝对平坦（可交换）环 (章 I, § 2, 习题 17)。证明 $X = \operatorname{Spec}(A)$ 是完全不连通的紧致空间，$A$ 的每个素理想$q$ 都是极大的，并且 $A_q$ 与域 $A/p$ 自然同构（首先证明，对于所有 $f \in A$，$V(f)$ 都是开闭的$X$；另一方面使用§ 3、习题 9)。

(b) 证明映射$a \mapsto V(a)$是$A$的理想的集合的双射到$X$的闭子集的集合。此外，以下条件是等价的：($a$)$V(a)$是开的； ($\beta$) $a$ 是有限生成的； (y) $a$ 由幂等生成； ($\delta$) $A/a$ 是射影 $A$ 模。

(c) 设$\tilde{A}$为结构捆环超过$X$。证明每个$\tilde{A}$-模块$\mathscr{F}$都是形式$\tilde{E}$，其中$E$是一个$A$-模块，定义为唯一的同构（取$E = \Gamma(X, \mathscr{F})$），并使用以下事实：每个点 $X$ 承认邻域的基本系统，它们都是开放和封闭的）。对于$A$的每个理想$a$，证明$\operatorname{Hom}_A(a, E)$与$\Gamma(X - V(a), \tilde{E})$相同（注，$X - V(a)$是$X_e$的并，其中$e$贯穿幂等的集合） $e \in a$）。推出，要使 $E$ 成为单射 $A$ 模，$\tilde{E}$ 是松弛的充分必要。

(d) 设$A$为环，且$\mathfrak{N}$为它的零根。以下属性是等效的：

(a) $A/\mathfrak{N}$ 绝对平坦。 ($\beta$) $X = \operatorname{Spec}(A)$ 是豪斯多夫。 (y) $X$ 的每个点都是闭集（在其他字中，$A$ 的每个素理想都是最大的）。 （使用 §3 中的习题 9。）