习题 18, § 4

(a) 令 Y 为完全正则空间。证明以下条件是等价的：

(α) $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ 的每个素理想都是最大的。 (β) Y 的开子集的每个可数交都是开的。 (γ) Y 上的每个连续实值函数都是局部常数。 (δ) 环 $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ 绝对平坦。 （使用§ 2中的习题 15 (f)。）

如果这些成立，则空间 $X = \mathrm{Spec}(\mathscr{C}(Y; \mathbf{R}))$ 被规范地等同于 Y 的 Stone-Čech 紧致化 $\beta Y$。这样的空间 Y 称为平坦的。

(b) 平面空间的每个子空间都是平面。平坦空间的每个完全正则商空间都是平坦的。平坦空间的每个有限乘积都是平坦的。单位空间的每一个和都是一个单位空间。

(c) 在平面空间中，每个可数子空间都是封闭且离散的。特别是每个可数单位空间都是离散的。

(d) 每个Weierstrassian完全正则空间（一般拓扑、章IX, § 1、习题22）（以及更不必说每个紧致空间）是平坦的，是有限的。

(e) 与非平凡超滤器相关的空间极度断开（一般拓扑、章I, § 11、习题21），但并不平坦。

(f) 离散的空间 $\mathbf{N}$ 是平坦的，但其 Stone-Čech 紧致化不是平坦的，因此环 $\mathscr{C}(\mathbf{N}; \mathbf{R})$ 和 $\mathscr{C}^\infty(\mathbf{N}; \mathbf{R})$ 的光谱不是同构的。