习题 10, § 5

令A为有限生成射影A-模的类的环和$E(A)$集合；设G是$E(A)$元素形线性组合和元素$\xi - \xi' - \xi''$G由……组成的N子模的Z模，其中$\xi, \xi', \xi''$是三个射影A-模M、M'的类， M'' 使得存在正合序列

（这相当于说 M 由于代数、章 II, § 2, no. 2 同构于直和 $M' \oplus M''$）。令$K(A)$为商$\mathbf{Z}$-模$G/N$，并且对于每个有限生成的射影A-模，令$\kappa(M)$（或$\kappa_A(M)$）为其$K(A)$中的类。

(a) 证明在$K(A)$上存在唯一的交换环结构，其加法是$\mathbf{Z}$-模$K(A)$和乘法使得$\kappa(M)\kappa(N) = \kappa(M \otimes_A N)$对于两个有限生成的射影A-模M，N； $\kappa(A)$ 是 $K(A)$ 中的单位元。

(b) 对于每个有限生成的射影$A$模$M$和每个整数$p \geqslant 0$，让$\lambda^p$表示元素$\kappa(\bigwedge^p M)$或$K(A)$。表明

让$\lambda_T(M)$表示形式幂级数的环$K(A)[[T]]$中的元素$\sum_{p=0}^\infty \lambda^p(M) T^p$在环$K(A)$上的一个不定；表明 推导同态也写成$K(A)$的$x \mapsto \lambda_T(x)$到$K(A)[[T]]$的形式幂级数的乘法群，其常数项等于1。让$\lambda^p(x)$表示$T^p$的系数$\lambda_T(x)$；那么 对于$K(A)$中的所有$x, y$。

(c) 如果 $A$ 是局部环，则环 $K(A)$ 被规范地标识为 $\mathbf{Z}$ 和 $\lambda^p(n) = \binom{n}{p}$。推出，如果$A$是$m$局部环的直接合成，则$K(A)$与$\mathbf{Z}^m$同构的。

(d) 设$\phi : A \to B$为环同态。证明对于每个有限生成的射影$A$-模$M$，存在唯一的环同态 $\phi' : K(A) \to K(B)$，使得$\phi'(\kappa_A(M)) = \kappa_B(M_{(B)})$；那么 $\phi'(\lambda^p(x)) = \lambda^p(\phi'(x))$ 对于所有 $x \in K(A)$；如果$\psi : B \to C$是另一个环同态，则$(\psi \circ \phi)' = \psi' \circ \phi'$。

(e) 设$\phi : A \to B$为环同态，其中$B$是有限生成的射影$A$模；对于每个有限生成的射影$B$-模块$N$，$\phi_*(N)$是一个有限生成的射影$A$-模块；推断存在一个 $\mathbf{Z}$-模块同态 $\phi_1 : K(B) \to K(A)$ 使得

证明，对于所有 $x \in K(A)$ 和 $y \in K(B)$，$\phi_1(y \cdot \phi'(x)) = \phi_1(y) \cdot x$。如果$\psi : B \to C$是另一个环同态，使得$C$是有限生成的射影$B$模，则$(\psi \circ \phi)_1 = \phi_1 \circ \psi_1$。