习题 13, § 5

令 $A$ 为（可交换的）环，$B$ 为 $A$ 代数（不一定可交换）。假设 $A$-模块 $B$ 是忠实的，并且由元素 $b_i$ ($1 \leq i \leq n$) 的有限数生成；回想一下，$B^0$表示$B$的反代数，典范同态是$A$代数的定义

B \otimes_A B^0 至 A-代数 End_A(B) 映射 $b \otimes b'$ 至自同态 $z \mapsto bzb'$。

(a) 证明下面两个条件是等价的： (α) A-模 B 和典范同态 $B \otimes_A B^0 \to \mathrm{End}_A(B)$ 的$b_i$ 形式基是双射。 (β) 矩阵 $U = (u_{ij})$ 使得 $u_{ij} = b_j b_i$ 在 $M_n(B)$ 中可逆。

(b) 进一步假设A为局部环，最大理想为$m$；让$\beta_i$表示$B/mB$中$b_i$的典范像。证明条件 (α) 和 (β) 等价于条件： (γ) A/m 模 $B/mB$ 和 $B/mB$ 的 $\beta_i$ 形式基是一个简单的中心 A/m 代数 (代数, 章 VIII, § 5, no. 4)。 (δ) 矩阵 $(\beta_j \beta_i)$ 在 $M_n(B/mB)$ 中可逆。 （为了证明 (δ) 蕴含 (β)，请使用$mB$包含在 B 的雅各布森根式中以及代数、章VIII, § 6的习题 5 中这一事实）。