习题 23, § 5

令$A$为环，$(f_i)_{i \in I}$为$A$生成的理想$A$的元素的有限族。

(a) 设$M$为$A$模块。证明，如果对于所有 $i \in I$，$M_{f_i}$ 是有限生成的 $A_{f_i}$ 模，$M$ 是有限生成的 $A$ 模。

(b) 令 $B$ 为（可交换的）$A$-代数。证明，如果对于所有 $i \in I$，$B_{f_i}$ 是有限生成的 $A_{f_i}$ 代数，$B$ 是有限生成的 $A$ 代数。