习题 2, § 1

令$A$为型$\mathbf{Z}$的分级交换环，使得$A_n = 0$对应于$n < 0$。对于所有$n \geq 0$，令$A_{[n]}$表示$A$的分级理想$\bigoplus_{m \geq n} A_m$； $A$-代数$A^h = \bigoplus_{n \geq 0} A_{[n]}$是由$A_{[n]} = A_n^h$分级的环；对于所有$f \in A, (d > 0)$，让$f^h$表示$A^h$的元素，其分量为零，除了次数$d$，它等于$f$。

(a) 证明，当且仅当$\in A_d$时，其中$d > 0$、环$A_{(f^h)}^h$同构于$(A_f)^{\geq}$（记号等于习题1）。

(b) 对于$A^h$ 是有限生成的$A$-代数，$A$ 是有限生成的$A_{(f)}$-代数是充分必要的。

(c) 在阶中，$A_{n+1}^h = A_1^h A_n^h$（或$A_n^h = (A_1^h)^n$）对于$n \geq n_0$，$A_{n+1} = A_1 A_n$（或$A_n = (A_1)^n$）对于$n \geq n_0$是必要且充分的。