习题 20, § 2

(a) 证明离散线性紧模不能是子模无穷大的直和，且不减至 0。

(b) 给出一个最小线性拓扑 (习题 17) 的例，它不是线性紧致的（考虑单模的无限直和，其中没有两个是同构的）。

(c) 令 E 为线性紧致模，使得存在简单子模族，其和在 E 中稠密。证明： (1) E 是严格线性紧致的（将 (a) 应用到 E 与开子模的商）； (2) E 与离散单模族的（拓扑）乘积同构。 （考虑 E 的最大开度子模的集合 $\mathscr{O}$，使得对于 $\mathscr{O}$ 的 n 个不同元素的每个有限序列 $(G_k)_{1 \leq k \leq n}$，$E / \left( \bigcap_{k=1}^n G_k \right)$ 是 n 简单子模的直和。证明存在一个最大集合 $\mathscr{O}$（关于包含），并且所有子模 G 属于的交到这样的集合减少到 0；使用$\{0\}$ 是最大开度子模的交的事实，并且对于每个最大开度E 的子模 G 中至少有一个简单子模不包含在 G 中。结论利用 E 是严格线性紧的这一事实。）

(d) 从 (c) 推导出域 K 上的每个线性紧致向量空间都是严格线性紧致且同构于乘积 $K_s^1$。