习题 23, § 2

令 $A$ 为交换环，并具有线性拓扑 $\mathscr{T}$。

(a) 证明 $A$ 的理想$a$，在 $\mathscr{T}$ 下闭合，并且使得 $A/a$ 为阿廷的，形式在线性拓扑 $\mathscr{T}^{(c)}$ 下为 0 的邻域基本系统 $A$，比 $\mathscr{T}$ 更粗糙（使用代数、章 VIII, § 2、习题 12）；然后$(\mathscr{T}^{(c)})^{(c)} = \mathscr{T}^{(c)}$。令$B$为$A$相对于拓扑$\mathscr{T}^{(c)}$的Hausdorff完成环；证明 $B$ 是严格线性紧致的； $B$ 据说是与 $A$ 相关的严格线性紧凑环。

(b) 设$\mathscr{T}_\omega(A)$为$A$、$\mathscr{T}_c(A)$拓扑$(\mathscr{T}_\omega(A))^{(c)}$上的离散拓扑。为了使$A$上的拓扑$\mathscr{T}^{(c)}$成为Hausdorff，$\mathscr{T}$成为Hausdorff是必要且充分的，并且对于在$\mathscr{T}$下开放的$A$的每个理想$b$，拓扑$\mathscr{T}_c(A/b)$是Hausdorff。 \* 如果 $A$ 是高度 1 的非离散估值 (章 VI) 的环，则 $\mathscr{T}_c(A)$ 不是 Hausdorff。 \*

(c) 假设$A$在$\mathscr{T}$下是线性紧的；那么 $A$ 与 $\mathscr{T}^{(c)}$ 是完备的（但一般不是 Hausdorff）。那么对于 $\mathscr{T}^{(c)}$ 来说，$A$ 上存在一个严格线性紧且比$\mathscr{T}$ 更粗糙的线性拓扑是充分必要的；那么$\mathscr{T}^{(c)}$就是具有这些属性的唯一的拓扑。

(d) 令 $E$ 为线性拓扑且严格线性紧凑的 $A$ 模块。证明，如果 $A$ 给定拓扑 $\mathscr{T}_c(A)$，$E$ 是一个拓扑环（注，如果 $F$ 是阿廷的 $A$ 模，那么，对于所有 $x \in F$， $x$的湮没子$a$使得$A/a$是阿廷的）。推出，如果$B$是$A$相对于拓扑$\mathscr{T}_c(A)$的Hausdorff完成，则$E$可以被视为拓扑$B$模； 环 $B$ 同构于严格线性紧致局部环的乘积

B_\lambda (习题 21 (d))，表明 E 同构于严格线性紧致子模 E_\lambda 的乘积，其中 E_\lambda 被指标 \mu \neq \lambda 的 B_\mu 湮灭，因此可以被视为拓扑 B_\lambda 模（如果 e_\lambda 为B 的单位元，取 E = e_\lambda \cdot E)。