习题 15, § 3

(a) 令 $A$ 为诺特整环，$m$ $A$ 的理想，$\hat{A}$ $A$ 相对于 $m$-adic 拓扑的豪斯多夫完成。证明，如果 $M$ 是无扭 $A$ 模，则对于 $\hat{A}$ 中的 $0$ 的除子，元素 $b$，位似与 $A$ 模中的比率 $b$ $\hat{A} \otimes_A M$ 是单射的。 （约化它是$M$有限生成的情况；然后在$M$和$a \in A$中存在最大自由系统$(m_j)_{1 < j < \infty}$，使得对于所有$m \in M, am = \sum_j a_j m_j$其中$a_j \in A$；因此每个$x \in \hat{A} \otimes_A M$满足$ax = \sum_j b_j \otimes m_j$，其中$b_j \in \hat{A}$；然后使用$A$-模$\hat{A}$的平坦度。）

(b) 令$K$为特征$0$、$B$、多项式环、$K[X, Y]$和$P(X, Y) = X(X^2 + Y^2) + (X^2 - Y^2)$的代数闭域。证明理想的$BP$在$B$中是素数；考虑商环$A = B/BP$，即诺特整环。令$m$为$A$的最大理想，典范像为$B$的最大理想$n = BX + BY$。证明 $A$ 相对于 $m$-adic 拓扑的 Hausdorff 完成$\hat{A}$ 不是整环（观察在形式幂级数 $K[[X, Y]]$、$P$ 的环中）分解为两个形式幂级数的乘积（“不可约立方的双点”）。