习题 16, § 3

令 $A$ 为可交换诺特环，$m$ $A$ 的理想，$E$ 为带有 $m$-adic 拓扑的有限生成的 $A$ 模。对于每个无限集合$I$，让$E$表示$E$的元素的族$(x_i)_{i \in I}$的集合使得$\lim x_i = 0$相对于$I$的有限子集的补集过滤器；它是乘积$A$-模块$E^I$的子模。

(a) 证明，如果有限生成的 $A$ 模块中的 $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ 是正合序列，则相应的序列 $0 \to E'_1 \to E_1 \to E''_1 \to 0$ 是精确的。

(b) 定义对于每个$A$-模块$E$ 都有一个规范的$A$同态$A, \otimes_A E \to E_1$，并证明它是同构（首先在$E$自由且有限生成时验证这一点，然后使用（a））。

(c) 从 (b) 推出$A$，是一个忠实的扁平$A$-模。