习题 19, § 3

令$A$为交换律诺特环，$m$为$A$的理想，$S$为$A$的乘法子集。令 $A$ 为给定的 $m$-adic 拓扑。

(a) 证明环 $A\{S^{-1}\}$ ($\S$ 2, 习题 27) 是平的 $A$ 模。

(b) 令 $S'$ 为 $S$ 中包含的$A$ 的另一个乘法子集。证明 $A\{S^{-1}\}$ 是一个平面 $(A\{{S'}^{-1}\})$ 模（使用 $\S$ 2 的习题 27 (d)）。

(c) 证明 $A\{S^{-1}\}$ 是平面 $A_{(S)}$ 模 ($\S$ 2, 习题 27 (g))。

(d) 假设$S = A - p$，其中$p$是$A$的开素理想。证明 $A\{S^{-1}\}$ 是忠实平坦的 $A_{(S)}$ 模，并推论出环 $A_{,,}$ 是诺特 (cf. $\S$ 2, 习题 27 (g))。