习题 23, § 3

(a) 设$A$是可交换的诺特环，$m$是$A$的理想。让$P\{M\}$表示以下性质：$M$是一个$A$模，$M$的每个有限生成的子模都会被$m$的幂消灭。

证明习题 22 的条件 (α)、(β) 和(γ) 满足。 （为了证明（γ），约化是有限生成$M$的情况；对于所有$a \in m$，存在假设$k > 0$使得$a^k N = 0$；使用存在$r > 0$使得$\operatorname{Ker}(a_M^r) \cap \operatorname{Im}(a_M^r) = 0$（代数， 章VIII, § 2, no. 2、引理2)。）

(b) 证明，如果 $M$ 是有限生成的 $A$ 模，则拓扑 $\mathscr{T}_P(M)$ 与 $m$-adic 拓扑相同。给出$A$-模块$M$的例，其中$\mathscr{T}_P(M)$严格是更细，$m$-adic拓扑（cf.习题11）。

(c) 证明(a)的结论对于$A$是非交换性左诺特环且$m$是$A$的双面理想的情况不扩展（考虑阶2的下三角矩阵的环超过交换域）。