习题 8, § 4

令$A$为线性拓扑交换环。 加法群 $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ 与乘积群 $A^{N^p}$ 进行识别，并给出乘积拓扑 $\mathscr{T}$。

(a) 证明$\mathscr{T}$与$A[[X_1, \ldots, X_p]]$上的环结构兼容，并且是线性拓扑，其中映射$f \mapsto \partial f / \partial X_i$是连续的。

(b) 对于$A[[X_1, \ldots, X_p]]$的每个元素$P = \sum_e \alpha_{e,P} X^e$（§ 1, no. 6的记号）和每个完整的Hausdorff拓扑A-代数B（$§ 2$，习题28），元素$x = (x_1, \ldots, x_r) \in B^p$据说是如果$(\alpha_{e,P} x^e)$族（我们用$x^e = x_1^{e_1} \ldots x_p^{e_p}$代替$e = (e_1, \ldots, e_p)$）相对于$N^p$的有限子集补集过滤器在B中收敛到0，则在$P$中可替换。然后这个族是可求和的，它的和用$P(x)$表示。证明形式幂级数$P \in A[[X_1, \ldots, X_p]]$的集合使得$x$可在$P$中替换为子环S，$A[[X_1, \ldots, X_p]]$和映射$P \mapsto P(x)$的同态从S，到B。

(c) 证明，如果 $x$ 在 $P$ 中可替换，且 $y = (y_1, \ldots, y_p)$ 是 $B^p$ 的元素，使得 $y_i$ 对于 $1 \leq i \leq p$ 拓扑幂零，则 $x + y$ 在 $P$ 中可替换。

特别地，如果拓扑幂零元的0由……组成的B邻域存在，则对于所有$P \in A[[X_1, \ldots, X_p]]$，在$P$中可替换的$x \in B^p$的集合D是开的，并且从D到映射$x \mapsto P(x)$ B 是连续的。

(d) 假设从现在起 A 是 Hausdorff 且完备的，并让 $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ 被赋予拓扑 $\mathscr{T}$。对于 q 正式幂级数 $P_1, \ldots, P_q$ $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ 的系统可以在正式幂级数中替换

系统 $(P_1(0), \ldots, P_q(0))$ 在 Q 中可替换是必要且充分的。

(e) 假设 $x$ 在每个 $P_k$ ($1 \leq k \leq q$) 中可替换，并且系统 $(P_1, \ldots, P_q)$ 在 Q 中可替换。证明 $x$ 在 $Q(P_1, \ldots, P_q)$ 中可替换，系统 $(P_1(x), \ldots, P_q(x))$ 是在 Q 中可替换，且 $Q(P_1(x), \ldots, P_q(x)) = ((Q(P_1, \ldots, P_q))(x))$ 当且仅当假设满足以下假设中的一个*： (a) B 中存在一个理想 n，使得有序对 $(B, n)$ 满足 Hensel 的条件和 $x_i$ ($1 \leq i \leq p$) 属于到 n； (β) 形式幂级数 Q 受到限制。

(f) 将 $B = A = \mathbf{F}_2$ 与离散的拓扑、$P = X + X^2$、$Q = \sum_{n=0}^\infty X^{2^n}$ 相取；那么$P$在$Q$中可替代，$x = 1$在$P$和$Q(P)$中可替代，$P(x)$在$Q$中可替代，但$Q(P(x)) = 0$和$(Q(P))(x) = 1$可替代。