习题 17, § 1

令 $A$ 为环且 $M$ 为 $A$ 模。如果存在$x \in M$，使得$p$是素理想包含$\operatorname{Ann}(x)$的最小元素或集合，则称$A$的素理想$p$与$M$“弱关联”；我们用$\operatorname{Ass}_f(M)$集合表示与$M$弱相关的理想。然后$\operatorname{Ass}(M) \subset \operatorname{Ass}_f(M)$。

(a) 证明关系$M \neq 0$等价于$\operatorname{Ass}_f(M) \neq \varnothing$。

(b) 对于$a \in A$使得$a_M$是单射的，$a$属于到$\operatorname{Ass}_f(M)$中没有元素是必要且充分的（注，如果$a$属于到理想$\operatorname{Ann}(x)$的根式，其中$M$中存在$x \neq 0$，$M$中存在$y \neq 0$，使得$a \in \operatorname{Ann}(y)$）。为了证明条件是必要的，约化，通过考虑环$A/\operatorname{Ann}(x)$，到证明，在环$A$中，每元素属于到一个素理想$p$，它在$A$的素理想的集合必然是0的除子（章II, § 2, no. 6，命题12）。）

为了使$a \in A$使得$a_M$几乎幂零，$a$属于对于$\operatorname{Ass}_f(M)$的所有元素是充分必要的。

(c) 如果$N$是$M$的子模，那么

（注，如果$p$是素理想，$a \notin p$，$x \in M$使得$ax \in N$和$\operatorname{Ann}(x) \subset p$，则$\operatorname{Ann}(ax) \subset p$。）

(d) 令$S$为不满足$S$的素理想$A$的$A$和$\Phi$集合的乘法子集。 Show that $p \mapsto S^{-1}p$ is a bijection of $\operatorname{Ass}_f(M) \cap \Phi$ onto $\operatorname{Ass}_f(S^{-1}M)$. (Observe that the inverse image under the canonical mapping $A \to S^{-1}A$ of the annihilator of an element $x/s$, where $x \in M, s \in S$, is the saturation with respect to $S$ of $\operatorname{Ann}(x)$.)

(e) 令$S$为$A$的乘法子集；表明，如果$N$是典范同态$M \to S^{-1}M$的核，则$\operatorname{Ass}_f(N)$是$p \in \operatorname{Ass}_f(M)$的集合，满足$S$和不满足$p \in \operatorname{Ass}_f(M)$的$\operatorname{Ass}_f(M/N)$集合 $S$。 （为了证明后者点，考虑一个素理想$q$，它在包含$\operatorname{Ann}(\overline{y})$中的集合中最小，其中$\overline{y} \in M/N$；注，如果$y \in \overline{y}$和$t \in q$，则存在$c \notin q$和整数$n > 0$使得$ct^n y \in N$（章11，§ 2, no. 6，命题12）首先推导出$q \cap S = \varnothing$。 存在$s \in S$使得$sc t^n y = 0$； 结论不可能有素理想 $q' \neq q$ 使得 $\operatorname{Ann}(y) \subset q' \subset q$。）

(f) 对于$A$到属于到$\operatorname{Supp}(M)$的素理想，包含元素$\operatorname{Ass}_f(M)$是充分必要的。

(g) 证明，如果$A$ 是诺特，则$\operatorname{Ass}_f(M) = \operatorname{Ass}(M)$。

(h) 如果$A$是绝对平坦环，则$\operatorname{Ass}_f(A) = \operatorname{Spec}(A)$。

(i) 对于从 $E$ 到乘积 $\prod_{p \in \operatorname{Ass}_f(E)} E_p$ 的每个 $A$-模 $E$ 典范同态都是单射的；在其他字中，$E$中$\{0\}$的*饱和度*的交相对于理想$p \in \operatorname{Ass}_f(E)$减少到0。类似地推广习题12。

(j) 设 M 为有限生成A-模。证明素理想包含$a = \operatorname{Ann}(M)$属于到$\operatorname{Ass}_f(M)$的集合的最小元素（如果$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$是M的生成元系统，证明这样一个理想包含之一） $\operatorname{Ann}(x_i)$）。推出$\operatorname{Ass}_f(A/a)$包含在$\operatorname{Ass}_f(M)$中（如果类模$a$的素理想$p$包含湮没子元素$a \in A$、注即$p$ M 的子模 $\alpha M$ 包含湮没子)；表明素理想包含$a$的$\operatorname{Ass}_f(A/a)$、$\operatorname{Ass}(M)$和集合具有相同的最小值元素。