习题 20, § 2

概念 of 初等分解 and that of reduced 初等分解 may be defined for any 环 $A$ as in nos. 2 和 3（使用习题 12 中定义的主要子模的概念）。

(a) 将命题 4 和 6 概括为替换 Ass by Ass，自始至终。

(b) 设 $E$ 为有限生成的 $A$ 模，$F$ 子模为 $E$。对于$A$的每个乘法子集$S$，令$\operatorname{sat}_S(F)$表示$E$中$F$相对于$S$的饱和度。证明，如果$F$在$E$中承认初等分解，则对于某些$a \in A$，$E$中$F$的每个饱和度都是形式$F : (a)$。 （令 $p_i$ ($1 \leq i \leq r$) 为 $\operatorname{Ass}_f(E/F)$ 的元素。首先证明，使用 (a)，对于 $A$ 的每个乘法子集 $S$，都存在 $b \in A$，这样，如果 $T$ 是乘法$b^n$ ($n \geq 0$) 的子集，然后$\operatorname{sat}_T(F) = \operatorname{sat}_S(F)$，取$b$，使得$b \in p_i$，如果$p_i \cap S \neq 0$，否则$b \notin p_i$，然后证明我们可以对$m$取$a = b^m$。 足够大。）

(c) 给出$\mathbf{Z}$-模块$E$的例，使得$\{0\}$相对于$E$是主要的，但存在不属于形式$0$的饱和度$\operatorname{sat}_S(0)$： (a) (cf. 代数、章VII, § 2、习题3)。