习题 24, § 2

在拉斯克环 A (习题 23) 中，令 $p_1, p_2, p_3$ 为三个不同的素理想，使得 $p_1 \subset p_2 \subset p_3$；让$x_2 \in p_2 - p_1, x_3 \in p_3 - p_2$。 替换如果需要分别通过$p_2, p_3$和包含包含的素理想$x_2$和$x_3$来分别为$p_2$和$p_3$，我们可以假设$p_2$在$\operatorname{Ass}_f(A/(p_1 + Ax_1))$中最小，$p_3$在$\operatorname{Ass}_f(A/p_2 + Ax_3))$中最小。 考虑理想的$a = p_1 + x_2 p_3$。

(a) 对于每个整数$k > 0$，证明$x_2 \notin a$和$x_3^k \notin a$；推断出 a 在 A 中不是主要的。证明 $p_2$ 是 $\operatorname{Ass}_f(A/a)$ 的最小元素。

(b) 令$a = \bigcap_{i=1}^n q_i$为A中a的约化初等分解，令$p_i'$为$q_i$的根式；假设 $p_3 \notin p_i'$ 为 $1 \leq i \leq s, p_3 \subset p_i'$ 为 $s+1 \leq i \leq n$；证明$1 \leq i \leq s$必然有$s < n$和$x_2 \in q_i$。证明存在指标$i \geq s+1$使得$p_3 = p_i'$。 （通过*归谬*论证：在相反的情况下，将存在$y \notin p_3$，使得$y \in q_i$对于所有$i \geq s+1$；然后$x_2 y \in a$并证明这个关系与……矛盾$y \notin p_3$。）

结论$p_3$是$\mathrm{Ass}_f(A/a)$的非最小元素；我们用$q'_3$表示$A$中$a$的主要成分，在上面的分解中对应表示它。

(c) 设 $b = p_2 \cap q'_3$；另一方面，令$m > 0$满足$x_3^m \in q'_3$并令$c = b + Ax_3^{2m}$。证明$c$相对于$p_3$的饱和度是$p_3$-初等理想$q''_3$（通过利用$p_2 + Ax_3$相对于$p_3$的饱和度，证明$p_3$的每个元素在$q''_3$中是幂）初级）。另一方面证明$x_3^m \notin q''_3$和$b = p_2 \cap q''_3$；那么理想的$b$有两个不同的减少的初等分解。