习题 28, § 2

如果 E 的每个子模都承认 E 中的初等分解，并且所有元素都是强主要的 (习题 27)，则有限生成A-模 E 被称为强拉斯克 (strong Laskerian)。

(a) 证明有限生成A-模 E 是强拉斯克函数，满足公理 (LA_{II}) of 习题 23 和公理是充分必要的：

(LA_{III}) 对于 A 的每一个理想序列 (b_k) 和 E 的每一个子模F，子模F 的递增序列：$(b_1 b_2 \ldots b_k)$ 是平稳的。

（要证明条件是必要的，请使用习题 27 (d)。要证明它们是充分的，请首先证明 (LA$_{III}$) 蕴含 (LA$_I$)，然后证明它暗示每个初等理想具有有限指数，利用习题 27 (a)。）

(b) 证明习题 23 (c) 中定义的环 A 满足(LA_{III})。

(c) 设 K 为域，V 无限维向量 K 空间和 $A = K \oplus V$ 环，其乘法定义为

证明在 A 中，每个理想 $\#A$ 都是强初等的，尽管 A 不是诺特。

(d) 设 E 为有限生成A-模，$E' \subset E$ 为有限生成的子模。为了使 E 具有强拉斯克性质，E' 和 $E/E'$ 是充分必要的。特别是，如果 A 是强拉斯克环，则每个有限生成A-模都是强拉斯克。如果 E 是强拉斯克 A-模，则对于 A 的每个乘法子集 S，S^{-1}E 是强拉斯克 S^{-1}A-模。

(e) 将习题 3 和 4 推广为强拉斯克模。