习题 33, § 2

设 A 为交换环。如果 0 的 $A/a$ 中，0 的除子的集合是理想的 $p/a$，则 A 的理想 a 称为原始的；那么理想的 p 就是素数。

(*) 对于（可交换的）阿廷环，这个定义重合与代数、章VIII, §6、习题20。

(a) 证明每一个基本理想和每一个不可还原的理想都是原始的。 (b) 设$a$为$A$的理想，使得$b$的理想集合，其中$a : b \neq a$有最大元素$p$；证明 $p$ 是素数，$a$ 是素数。 \* 给出一个原始理想$a$的例，其不满足上述条件（cf.§ 1，习题2）。 \* (c) 在诺特环 $A$ 中描述原始理想并给出例一个非主要的原始理想 (cf. § 1, 习题 11 (b))。