习题 4, § 2

设 A 为诺特环，M 有限生成A-模。令 p 为 Ass(M) 的元素，并令 $\mathscr{E}_p$ 为 M 的子模 Q 的集合，使得 $\operatorname{Ass}(M/Q) = \{p\}$ 和 $\operatorname{Ass}(Q) = \operatorname{Ass}(M) - \{p\}$（集合不为 § 1, no. 1、命题 4 为空）。我们写 $e_p(M) = \inf_{Q \in \mathscr{E}_p} e(M/Q)$ (习题 3)。

(a) 设 n 为整数 $\geq e_p(M)$，并令 $\mathscr{F}(n_p)$ 为 $\mathscr{E}_p$ 由……组成或子模 Q 的子集，使得 $e(M/Q) \leq n_p$。证明 $\mathscr{F}(n_p)$ 至少有元素 $Q(p, n_p)$。

(b) 设$(n_p)_{p \in \operatorname{Ass}(M)}$是整数的一个族，使得$n_p \geq e_p(M)$对于所有$p \in \operatorname{Ass}(M)$。证明 M 中的子模 $Q(p, n_p)$ 相应的对于这个族形式是 {0} 的减少的初等分解，据说是由族 $(n_p)$ 规范地确定的。如果我们对所有$p \in \operatorname{Ass}(M)$取$n_p = e_p(M)$，则$Q(p) = Q(p, e_p(M))$的初等分解由……组成称为M中{0}的规范*初等分解*。令$\{0\} = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} Q'(p)$为M中{0}的任何约化初等分解。证明$e(M/Q(p)) \leq e(M/Q'(p))$为所有 $p \in \operatorname{Ass}(M)$ 并且，如果 $e(M/Q(p)) = e(M/Q'(p))$ 对于某些 p，则 $Q(p) \subset Q'(p)$ （“Ortiz 的定理”）。

(c) 证明$Q(p, n_p)$是$p^{n_p} M$相对于p的饱和度（使用§ 1, no. 2、命题 6）； p 是 $\operatorname{Supp}(M/p^n M)$ 中最小的元素。

(d) 令 S 为 A 的乘法子集，不满足素理想 $p \in \operatorname{Ass}(M)$，并令 Q 为 M 的 p 初数子模。证明 $e(M/Q) = e(S^{-1}M/S^{-1}Q)$。证明，如果 S 是 A 的乘法子集，$\Phi$ 集合 $p \in \operatorname{Ass}(M)$，使得 $S \cap p = \varnothing$ 且 N 是 M 中的 {0} 相对于 S 的饱和度，则 $Q(p, n)$，其中 $p \in \Phi$ 形式的约化初等分解 M 中的 N 由族 $(n_p)_{p \in \Phi}$ 和 $S^{-1}Q(p, n)$ 规范地确定，其中 $p \in \Phi$ $S^{-1}M$ 中 (0) 的减少的初等分解规范地由族 $(n_p)_{p \in \Phi}$ 确定。考虑规范初等分解的特殊情况。