习题 10, § 1

设A为完全积分闭域。 证明对于每个集合 I，多项式域 $A[X_i]_{i \in I}$ 和形式幂级数 $A[[X_i]]_{i \in I}$ (代数, 章 IV, § 5, 习题 1) 的域是完全积分闭的。 （no. 4 的应用命题 4 和以下引理：对于 I 的每个有限子集 J 和所有 $P \in A[[X_i]]_{i \in J}$，令 $P_J$ 为从 P 导出的 $A[[X_i]]_{i \in J}$ 中的形式幂级数替换在 P 中，指标 $i \notin J$ 的所有 X 被 0；如果 P、Q 是两个形式幂级数，使得对于所有 J，$P_J$ 可被 $A[[X_i]]_{i \in J}$ 中的 $Q_J$整除，则 P 可被 Q 整除$A[[X_i]]_{i \in I}$。 对于这个注，如果J，J'是I的两个有限子集，使得$J \subset J'$和$P_{J'} = L' Q_{J'}$，以及$P_{} = L Q_J$，那么L是从L'乘替换乘0在L'中得到的X，指标$i \in J' - J$。）