Bourbaki

习题 21, § 1

标签 04PA，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 04PA]。

交换代数, V, 359

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 令K0K_0为特征p>0p > 0的完美域，有理函数K0(Xn)n∈NK_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}的LL域，形式幂级数L[[Y,Z]]L[[Y, Z]]的A′A'环，其中YY和ZZ是两个不定式，AA张量积环K[[Y,Z]]⊗KLK[[Y, Z]] \otimes_K L，我们写K=Lp⊂LK = L^p \subset L； AA 是诺特局部环，它是不完整的，其完整由A′A'（章 III, § 3，习题 17）标识，并且AA是AA的积分。让cnc_n表示元素

XnY+Xn+1YZ+Xn+2YZ2+… X_n Y + X_{n+1} YZ + X_{n+2} YZ^2 + \ldots

A′A'。令BB为由AA和元素cnc_n(n≥0n \geq 0)生成的A′A'的子环。若C=A[c0]C = A[c_0]、CC为诺特且环BB（非整闭）包含在CC与包含CC的整闭内；但证明BB不是诺特（观察cnc_n不属于到由指标i<ni < n的cic_i生成的理想BB）。

(b) 假设p=2p = 2； K0,KK_0, K和LL与(a)中的含义相同，这次考虑三个不定式中形式幂级数A′=L[[Y,Z,T]]A' = L[[Y, Z, T]]的环，子环

A=K[[Y,Z,T]]⊗KL, A = K[[Y, Z, T]] \otimes_K L,

并写

b=Y∑n≥0X2nTn+Z∑n≥0X2n+1Tn. b = Y \sum_{n \geq 0} X_{2n} T^n + Z \sum_{n \geq 0} X_{2n+1} T^n.
证明环A[b]A[b]是诺特，但它的积分闭包B不是诺特环。 （如b2∈Ab^2 \in A，A[b]A[b]的分数的域的每个元素都是形式P+QbP + Q b，其中P和Q是XkX_k的有限数的线性组合，系数为K[[Y,Z,T]]K[[Y, Z, T]]的分数的域；对于这样的元素对于A[b]A[b]的积分，证明属于到A′A'是充分必要的。 证明 B 由元素生成
bi=Y∑n≥0X2(i+n)Tn+Z∑n≥0X2(i+n)+1Tnfor i≥0 b_i = Y \sum_{n \geq 0} X_{2(i+n)} T^n + Z \sum_{n \geq 0} X_{2(i+n)+1} T^n \quad \text{for } i \geq 0
和结论 (a) 中的参数。）

解答

尚未写出解答。

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