Bourbaki

习题 16, § 2

标签 04R1，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 04R1]。

交换代数, V, 366

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令AA为整环，KK为分数的域，K′K'为次数nn的KK和A′A'子环的有限扩张 K′K' 包含 AA，其中K′K'为分数的域，并且对AA整的。令mm为AA和BB局部环A[X]mA[X]A[X]_{mA[X]}（习题15）的最大理想。

(a) K′(X)K'(X) 的子环 B′=B[A′]B' = B[A'] 对BB 整的； 分数的域是K′(X)K'(X)和[K′(X):K(X)]=n[K'(X):K(X)] = n。

(b) 对于A′A'包含mm的每个最大理想m′m'，n′=m′B′n' = m'B'是B′B'的最大理想；如果我们写 n=mBn = mB，那么

[(A′/m′):(A/m)]=[(B′/n′):(B/n)] [(A'/m'):(A/m)] = [(B'/n'):(B/n)]
和
[(A′/m′):(A/m)]s=[(B′/n′):(B/n)]s. [(A'/m'):(A/m)]_s = [(B'/n'):(B/n)]_s.
（观察(A′/m′)⊗AB(A'/m') \otimes_A B与域(A′/m′)(X)(A'/m')(X)同构的，并推断B′/n′B'/n'与(A′/m′)(X)(A'/m')(X)同构的。）

(c) 映射m′↦m′B′m' \mapsto m'B'是AA最大理想集合的双射包含mm到B′B'最大理想集合； 逆双射是 n′↦n′∩A′n' \mapsto n' \cap A'。

解答

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