习题 19, § 2

设$A$为积分闭域，$K$为分数的域，$K'$为次数$n$的$K$和$A'$子环的有限代数扩张 $K'$ 包含 $A$，在 $A$ 上积分，并与 $K'$ 作为分数的域；如果$p$是$A$的素理想，令$A'_p$表示$A'$的分数的环，其分母在$A - p$。如果 $pA_p$ 在 $A'_p$ 中未分支，则$p$ 在* $A'$ 中被称为*未分支。

(a) 令 $p_i'$ ($1 \leq i \leq r$) 为位于$p$之上的$A'$的素理想。设$d_i$为$A'/p_i'$分数域次数在$A/p$分数域的可分因子；表明 $\sum_{i=1}^r d_i \leq n$。 （约化到习题 18。）

(b) 以下条件是等效的： (α) 理想的$p$在$A'$中是无分支的。 (β) $K'$超过$K$的$A'$包含基，其判别式属于到$A - p$。 (γ) $\sum_{i=1}^r d_i = n$。 特别是，如果$r = n$，则$p$在$A'$中是无分支的。 给出例，其中$p$在$A'$中未分支，但$A'$不是有限生成的$A$-模块（cf.习题9（a））。

(c) 如果$A$的每个素理想在$A'$中都是无分支的，则$A$在*$A'$（或在$K'$）中被称为*无分支。证明 $A'$ 是一个 忠实平坦 $A$ 模（cf. 章 II, § 3, no. 4，命题 15 的推论）。令$K''$为次数$n'$的$K'$的有限代数扩张；令$A'$为$A$在$K'$的积分闭包，$A''$为$A$在$K''$的积分闭包；为了使$A$在$A''$中无分支，$A$在$A'$中无分支以及$A'$在$A''$中无分支是充分必要的。

(d) 设$k$为域，$A$为$k$代数的积分闭积分，$K$为分数的域。设$k'$是$k$上次数$n$的$k$的有限可分代数扩张。证明，如果 $k' \otimes_k K$ 是域，则 $A$ 在 $k' \otimes_k K$ 中是无分支的（考虑 $k'$ 的原语元素 $x$ 在 $k$ 和 $k' \otimes_k K$ 的基） $x^i$ 的由……组成为 $0 \leq i < n - 1$）。