习题 5, § 3

Let A be an integral domain and $B \supseteq A$ a subring of the field of fractions K of A; suppose that A is integrally closed in B and that B contains an element $t$ such that B is a finitely generated $A[t]$-module.

(a) 令 F 为 $A[X]$ 的多项式 $\neq 0$，使得 $F(t)$ 属于相对于 $A[t]$ 到 B 的导体 f；表明，如果 c 是 F 的主导系数，则 c 属于为根式 off。 （通过考虑环$A[c^{-1}]$和$B[c^{-1}]$，约化表明，如果$c = 1$，必然$B = A[t]$。另一方面，我们可以假设$F(t) \neq 0$，否则$t \in A$。对于所有$x \in B$，由假设

其中 Q 和 R 是 $A[X]$ 和 $\deg(R) < \deg(F)$ 中的多项式；注意可能仅限于$R(t) \neq 0$的情况；如果$y = R(t)(F(t))^{-1} = x - Q(t)$，证明$t$是$A[y^{-1}]$的积分，并推导出y是A的积分。）

(b) 进一步假设A为诺特；令 q 为 B 属于到 $\operatorname{Ass}(B/f)$ 的素理想。 Show that, if $\omega$ is the canonical homomorphism from B to the field of fractions of $B/q$, $\omega(t)$ is transcendental over the field of fractions of $A/(q \cap A)$. (If $p = q \cap A[t]$, there is an element $y \in B$ such that q is the set of $z \in B$ for which $zy \in f$; show that p is the conductor of $B = A[t] + By$ with respect to $A[t]$. 然后使用 (a) 通过 reductio ad absurdurn 进行论证。）

(c) 假设 A 是诺特。令n为B和$p = A \cap n$的最大理想。证明，如果 $A_p \neq B_n$，则存在包含在 n 中的 B 素理想，与 n 和包含 p 不同。 （设f是B相对于$A[t]$的导体。首先假设$n \supset f$；考虑n和包含f中包含的B素理想的集合中的最小元素q；考虑$B/q$中$A$的典范像并使用（b）和习题 4. 如果 $n \not\subset f$、局部环 $B_n$ 等于局部环 $A[t]_{n_1}$，其中 $n_1 = n \cap A[t]$ (§ 1、习题 16) 如果$t \in A_p$，则显示 $A_p = B_{n'}$。相反$A_p \neq B_{n'}$，由§ 2、习题 14 (c) 推出$pA_p[t]$是$A_p[t]$的非极大素理想，结论是$pB_n$与$nB_n$不同的$B_n$的素理想。