习题 3, § 4

(a) 令$\Theta$为全序集，对于每个$s \in \Theta$，令$A_s$为$\mathbf{R}$的子群，不减至0。让

是乘积$\prod_{s \in \Theta} A_s$的子群，函数$f$的由……组成，其支持度是$@$的良序子集。我们对$G$进行定义与其群结构兼容的排序，将元素$\geqslant 0$的集合$G_+$变为函数0和函数的集合由……组成 $f \neq 0$使得$f(\theta) > 0$至少支持关闭元素$\theta$。证明$G$是全序群，并且$\Theta$与$G$的主分离子群的集合规范同构，按关系$\supset$排序；而且，如果在这个同构下$H(a)$对应到$s \in \Theta$，则$H(a)/H^-(a)$与$A_s$同构的。

(b) 考虑由元素 $(p_n^{-1}, n p_n^{-1})$ 生成的全序群 $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$（按字典顺序）的子群 $G'$，其中 $(p_n)$ 是素数数的严格递增的序列。证明$G'$唯一不同于0和$G'$的孤立子群$H'$是群$\{0\} \times \mathbf{Z}$；但$G'$与按字典顺序排列的乘积$H' \times (G'/H')$的子群不同构。