习题 7, § 5

令 K 为域，v 为 K 的离散估值，使得 K 与 $\mathscr{T}_v$ 完备：令 $\mathbf{A}$ 和 $\mathfrak{p}$ 表示环，以及$\mathbf{A}$ 可逆元的$v$ 和$U = \mathbf{A} - \mathfrak{p}$ 集合的理想值。设$u$是$K$的同构到$K$的子域。

(a) 证明 $u(\mathfrak{p}) \subset \mathbf{A}$ 和 $u(U) \subset U$。 （为了证明第一个点，请观察对于所有$z \in \mathfrak{p}$，方程$x^n = 1 + z$在$\mathbf{A}$中承认解，对于所有$n > 0$素数到$v$的剩余类域的特征，使用亨塞尔的引理；如果$v(u(z)) < 0$，推导出整数 $v(u(z))$ 可以被整数 $n > 0$ 整除到$v$ 剩余类域的特征，然后从第一个断言中推导出第二个断言。）

(b) 从 (a) 推出，$u(K^*) \subset U$ 或$u$ 是连续的（考虑$v$ 均匀器的$u$ 下的像）。

(c) 给出代数闭域$\Omega$的例，使得取$K = \Omega((X))$，$K$同构于$U \cup \{0\}$中包含的$K$的子域(cf.代数， 章V, § 5、习题13)。