习题 2, § 6

令 $D$ 为特征 $\neq 2$ 的非交换域，$\mathbf{Z}$ 为中心。假设$D$ 包含 $\mathbf{Z}$ 的每个可交换子域 $K$ 都是次数 $\leq 2$ 超过$\mathbf{Z}$。

(a) 在不使用引理 1 的情况下显示 $[D : \mathbf{Z}] = 4$。 （令 $a \in D - \mathbf{Z}$ 使得 $a^2 \in \mathbf{Z}$ 并令 $\sigma(x) = axa^{-1}$ 对于所有 $x \in D$；注 $D$ 分解为两个向量子空间在 $\mathbf{Z}$ 上的直和， $D_+$和$D_-$使得$\sigma(x) = x$在$D_+$上，$\sigma(x) = -x$在$D_-$上；注也使得$D_+$是$D$的子域并且$D_-$是一维向量空间超过$D_+$；最后证明$D_+$不能与$\mathbf{Z}(a)$不同。） (b) 证明$D$ 比四元数代数大于$\mathbf{Z}$。 （在（a）的帮助下，$D$超过$\mathbf{Z}$的形式基。）