习题 11, § 8

令 K 为 K 的域、L 有限伽罗瓦扩张，且 $\mathscr{G}$ 为伽罗瓦群。令 $v$ 为L 的估值，其中剩余类域 k 和阶群 $\Gamma$；假设$v$在$\mathscr{G}$下不变，并且限制$v|K$与$v$具有相同的剩余类域$k$，因此$\mathscr{G} = \mathscr{G}^Z = \mathscr{G}^\Gamma$（记号等于习题8）。

(a) 设 $x \in L^*, \sigma \in \mathscr{G}$。证明$v$的$x^{-1} \sigma(x)$是单位，$k^*$中的像$\varepsilon_\sigma(x)$仅取决于$\sigma$模换位子群的评估$v(x)$和类 $\mathscr{G}$的$\mathscr{G}'$，因此定义了Z双线性映射（也用$\varepsilon$表示）$(\mathscr{G}/\mathscr{G}') \times \Gamma \to k^*$，在$(\mathscr{G}/\mathscr{G}') \times v(K^*)$上等于1。

(b) 对于所有$\sigma \in \mathscr{G}$，对于所有$x \in L^*$，令$\phi(\sigma)$为同态$\Gamma/v(K^*) \to k^*$映射$\varepsilon_\sigma(x)$到$v(x)$；因此定义了同态

表明，若$p$为k的特征指数，则$\phi$的核$\mathscr{N}$有$p$的阶幂。 （相反的情况下，$\mathscr{N}$中存在$\sigma \neq e$和素数数$q \neq p$，使得$\sigma^q = e$；对于$L - K$中的某些整数$x$，写为$\sigma(x) = x + y$，其中$v(y) > v(x)$，并且计算 $\sigma^q(x)$ 获得矛盾。）推出$\mathscr{G}$ 是可解的群。

(c) 假设$n = [L : K]$与$p$互质；证明$\phi$是双射，$e(L/K) = n$并且，如果$v$是$\mathscr{G}, k^*$包含的元素阶的$lcm$，则$v$-第根单位元。 （使用 (b) 和 no. 1 中的引理 2。）