习题 20, § 8

令 K 为具有特征 $\neq 2$ 的域，它是 Henselian，估值为 $v$；令 $\xi \mapsto \bar{\xi}$ 为 K 的对合自同构，使得 $v(\bar{\xi}) = v(\xi)$ 且令 $\Phi$ 为 K 上有限维向量空间 E 上的非简并厄米特形式。

(a) 设$U = (\alpha_{ij})$为$\Phi$的矩阵，相对于E的基$(e_i)$；表明存在$v$的阶群的元素$\lambda$，使得如果$\Phi'$在E上另一个厄米特形式，其矩阵$U' = (\alpha'_{ij})$关于对于每一个有序对$(i, j)$，$(e_i)$满足条件$v(\alpha_{ij} - \alpha'_{ij}) > \lambda$，那么$\Phi$和$\Phi'$是等价的。 （如上面代数、章 IX, § 6、习题 6、利用习题 14 (a) 中的论证。）

(b) 假设$\xi \mapsto \bar{\xi}$是恒等式（因此$\Phi$是对称的形式）并且估值$v$是离散的、规范的并且使得$v(2) = 0$；令 x 为 $v$ 的均匀化器。证明 $\Phi$ 的特征在于，直到等价，由其指标 $v$ 以及分别在向量空间 $k^r$ 和 $k^s$ 上指标 0 的两个对称双线性形式 $\Psi_1, \Psi_2$ 进行表征，其中 k 是$v$ 和 $r + s = n - 2$ 中的剩余类域。 （借助维特分解、约化，将$\Phi$等于指标 0；借助习题 19，证明对于所有$i \geq 0$、集合$M_i$，使得$x \in E$ $v(\Phi(x, x)) \geq i$ 是模超过$v$ 的环 A。表明，如果$x \in M_i, y \in M_{i+1}$，则$v(\Phi(x, y)) \geq i + 1$，并且通过求商，对称双线性形式可以从向量 k 空间上的$\Phi$ 导出。 $M_0/M_1$ 和 $M_1/M_2$。使用 § 3 的习题 6 (c) 以及对于 $a \equiv 1 \pmod{\pi}$，方程 $\xi^2 = \alpha$ 在 A 中具有解。）考虑 k 有限的情况 (cf. 代数， 章IX, § 6、习题4)。