习题 4, § 9

(a) 令 K 为交换域和 $v$ 对 K 的估值，使得 K 是具有 $v$ ($§ 8$, 习题 6) 的 Henselian。进一步假设K和$v$的剩余类域$k$的特征为0。证明存在$v$的环$\mathbf{A}$的子域$K_0$，使得典范映射$\mathbf{A} \to k$限制为$K_0$，为$K_0$ 的同构到$k$。 （令H为$\mathbf{A}$的子域，使得典范映射下的H的像是同构到$k$的子域E上；表明，如果$E \neq k$，$\mathbf{A}$中存在$\alpha \notin H$，使得K 的子域$H(\alpha)$包含在$\mathbf{A}$中，并且与$E(\bar{\alpha})$自然同构，其中$\bar{\alpha}$是$k$中$\alpha$的类；根据$\bar{\alpha}$是代数还是超越来区分两种情况超过E。）

(b) 进一步假设$v$是离散估值并且K对于$v$是完整的；由(a)推导出K与形式幂级数$k((T))$的域同构。