习题 15, § 1

(a) 令A为A的整环和$a, b$两个元素$\neq 0$，使得$Aa \cap Ab = Aab$。证明在多项式环 $A[X]$ 中，$aX + b$ 生成的主理想是素数（证明每个多项式$f(X) \in A[X]$使得$f(-b/a) = 0$是$aX + b$的倍数，论证归纳关于$f$的次数）。

(b) 设 A 为 Krull 域且 A 的 $a, b$ 两个元素使得 Aa 和 Aa + Ab 互质且不同。证明$A[X]/(aX + b)$是一个Krull域并且$C(A[X]/(aX + b))$与$C(A)$同构的。 （注，借助（a），$A[X]/(aX + b)$与$A[b/a] = B$同构的；证明Ba在B中是素数。观察$A[a^{-1}] = B[a^{-1}]$是克鲁尔域并使用习题 12。）

(c) 设 A 为全闭诺特域和 A 的雅各布森根式 r 的$a, b$ 两个元素。假设理想 Aa + Ab 是不可除素理想；证明 Aa 和 Ab 是素理想。 （首先证明$Aa \cap Ab = Aab$考虑到$Ass(A/Aa)$的理想。其次证明关系$xy \in Ab$和$y \notin Aa + Ab$对于所有$h$意味着$x \in Ab + Aa^h$，通过$h$上的归纳；推导出$x \in Ab$。最后，推导如果$xy \in Ab, x \notin Ab, y \notin Ab$，则对于所有$h$必然有$x \in Ab + Aa^h$和$y \in Ab + Aa^h$，通过归纳论证h，推导出矛盾。）