习题 20, § 1

如果 A 的每个有限生成理想都是主理想，则整环 A 称为 Bezoutian（或 Bezout 域）。每个 Bezooutian 诺特域都是主理想整环。每个估值环都是一个贝祖域（因此贝祖域不一定是诺特，也不一定是完全积分封闭的）。 (a) 证明每个 Bezooutian 域都是积分闭的 (cf. 习题 6)。如果整环是 Bezoutian 子域的右有向族的并，则它是 Bezoutian。如果 A 是 Bezooutian 域，那么对于 A 的每个乘法子集 S 来说 $S^{-1}A$ 也是，使得 $0 \notin S$。 (b) 令$v_i$ ($1 \leq i \leq n$) 为对$v_i$ 的域 K 和$A_i$ 环的独立评估。证明 $A_i$ 的交 A 是 Bezooutian 域。 （如果 A 的理想 a 是有限生成的，则 $x \in a$ 的 $v_i(x)$ 的集合在 $v_i$ 的值群中至少承认元素 $a_i$；对于所有 i，令 $x_i \in a$ 满足 $v_i(x_i) = a_i$。使用近似定理 (章 VI, § 7, no. 2, 定理 1)，证明存在元素 $a_i \in A$，使得 $x = \sum_{i=1}^n a_i x_i \in a$ 满足关系 $v_i(x) = a_i$ 对于 $1 \leq i \leq n$）如果$v_i$是离散估值，A是主理想整环。 (c) 令K为特征$\neq 2$的代数闭域，令A为$K$生成的$K(X)$的代数闭包的子环和元素$(x_n), (1/x_n)$的两个序列($1 \leq n < +\infty$)，其中$x_1 = X$ 和 $x_{n-1} = x_n^2$。证明 $A$ 是 Bezooutian（使用 (a)）。如果$\mathfrak{p}$是$A$的素理想$\neq 0$，则证明$\mathfrak{p}$是由形式$x, -a$的元素的序列生成，其中$a, \in K$、$a, \neq 0$和$a_n^2 = a_{n-1}$ （考虑所有$n$交$\mathfrak{p} \cap K[x_n, 1/x_n]$）。证明 $\mathfrak{p}$ 不是有限生成的。