习题 15, § 3

令 K 为域，其关于评估 $v$、评估的 A 环、$k$ 其剩余类域以及 P 为总次数 d 的 $A[X_1, \ldots, X_n]$ 中的多项式，其中性质 ：存在一个代数K 的扩张 $K'$，使得在 $K'[X_1, \ldots, X_n]$ 中，P 是总计次数 1 的多项式的乘积。进一步假设 $A[X_1, \ldots, X_n]$ 中存在两个多项式 Q、R，使得 Q 是总计次数 s 和包含的单项式$aX_1^s$，其中$\phi(a) \neq 0$（$\phi$表示典范同态$A \to k$），R为次数$\leq d - s$和$\overline{P} = \overline{Q} \cdot \overline{R}$（记号为章III, § 4）。证明$A[X_1, \ldots, X_n]$中存在两个分别为次数、$d - s$的多项式$Q_0, R_0$，使得$P = Q_0 R_0$、$\overline{Q} = \overline{Q}_0$、$\overline{R} = \overline{R}_0$和$Q_0$包含为单项式$a_0 X_1^s$其中$\phi(a_0) = \phi(a_0)$。 （将 P、Q、R 视为 X 中的多项式，环 B 中的系数，将 $v$ 扩展章 VI, § 10, no. 1、命题 2 的方法所得的估值完成$A[X_2, \ldots, X_n]$；然后应用Hensel 的引理；最后使用 P 上的初始假设。）