习题 6, § 3

(a) 令$K$为特征$\neq 2$的代数闭域。 确定环的分级素理想

(b) 令$k$为有序域、$a, b, c$元素$> 0$$k$和$A$环$k[X, Y, Z]/(aX^2 + bY^2 + cZ^2)$。证明 $A$ 是阶乘域。 （约化对应于$k$为极大有序域、利用习题 3 (b)的情况）；然后使用 (a) 证明高度为 1 的 $A$ 的每个分级素理想都是主理想并应用习题 3 (a)。）

(c) 设$k$为有序域，$a, b$元素$> 0$$k$和$B$环

证明 $B$ 是阶乘域（使用 (b) 和 § 1 的习题 17 (a)。）

(d) 证明域 $C = \mathbf{Q}[X, Y]/(X^2 + 2Y^2 + 1)$ 是阶乘的，但域 $C \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}(i)$（其中 $i^2 = -1$）不是阶乘。