习题 17, § 4

令k为域、A多项式环$k[X, Y]$、L自由A-模$A^2$和L的$(e_1, e_2)$典范基。令 M 为由两个向量 $(X + 1)e_1 + Ye_2, Ye_1 + Xe_2$ 生成的 L 的子模。证明从L到自身不存在伪同构，其中限制到M是形式$au + bv$从M到子模N的伪同构，其中$(u, v)$是A-模L的基和a、b两个A 的理想，或者其限制到 N 是从 N 到 M 的伪同构。（通过考虑行列式理想 (习题 10) 并注意到 M 是自反的，注意力可能会局限于 N 也自反的情况，然后必然是 $a = A, b = AP$，其中

是 A 的极值元素；最后表明，对于L的每个基$(u, v)$，$M \cap Au$既不能包含Au也不能包含在$APu$中。）