习题 4, § 4

令$k$为域且$A$多项式环$k[X, Y]$。 (a) 令$(e_1, e_2)$为$A$模块$A^2$的典范基，令$E$为$(X - Y)e_1, e_1 + Xe_2$和$e_1 + Ye_2$生成的$A^2$的子$A$模块；令$F$为$(X - Y)^2e_1$生成的$E$的单生子模。证明 $A$-模块 $M = E/F$ 不是其挠元子模的直和并且是无扭转模块。 (b) 证明挠元$A$-模$A/AXY$不是形式$A/\mathfrak{p}_i^n$的单生子模的直和，其中$\mathfrak{p}_i$是高度为1的素理想。