Bourbaki

习题 8, § 4

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交换代数, VII, 572

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令AA是一个整体封闭的诺特域，M1,M2M_1, M_2是两个有限生成的AA模块。 (a) 证明AA-模块Tor⁡iA(M1,M2)\operatorname{Tor}_i^A(M_1, M_2)、Ext⁡Ai(M1,M2)\operatorname{Ext}_A^i(M_1, M_2)对于i>2i > 2来说是伪零（约化对于AA是主理想整环的情况）。 (b) 如果 MiM_i 无扭转，则证明 Tor⁡1A(M1,Mi)\operatorname{Tor}_1^A(M_1, M_i) 和 Ext⁡A1(M1,M2)\operatorname{Ext}_A^1(M_1, M_2) 是伪零（与方法相同）。 (c) 如果 MiM_i 是挠元 AA 模，则表明（在 no. 5 的记号中）：

χ(M1⊗AM2)−χ(Tor⁡1A(M1,M2))=r(M2)χ(M1) \chi(M_1 \otimes_A M_2) - \chi(\operatorname{Tor}_1^A(M_1, M_2)) = r(M_2)\chi(M_1)
χ(Hom⁡A(M1,M2))−χ(Ext⁡A1(M1,M2))=−r(M2)χ(M1) \chi(\operatorname{Hom}_A(M_1, M_2)) - \chi(\operatorname{Ext}_A^1(M_1, M_2)) = -r(M_2)\chi(M_1)
χ(Hom⁡A(M2,M1))−χ(Ext⁡A1(M2,M1))=r(M2)χ(M1). \chi(\operatorname{Hom}_A(M_2, M_1)) - \chi(\operatorname{Ext}_A^1(M_2, M_1)) = r(M_2)\chi(M_1).

(d) 证明对于有限生成A-模 M1,M2M_1, M_2 中的每一个有序对：

c(M1⊗AM2)−c(Tor1A(M1,M2))=r(M1)c(M2)+r(M2)c(M1) c(M_1 \otimes_A M_2) - c(\mathrm{Tor}_1^A(M_1, M_2)) = r(M_1)c(M_2) + r(M_2)c(M_1)
c(HomA(M1,M2))−c(ExtA1(M1,M2))=r(M1)c(M2)−r(M2)c(M1).(*) c(\mathrm{Hom}_A(M_1, M_2)) - c(\mathrm{Ext}_A^1(M_1, M_2)) = r(M_1)c(M_2) - r(M_2)c(M_1). \tag{*}

解答

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