Bourbaki marks this one as harder than the rest.
对于有限集合 E 上的结合律律，存在形式 aE 的最小子集（即E 子集集合的最小元素） 形式，按包含顺序排列）。 (a) 如果 M=aE 最小，则 xM=xE=M 对于所有 x∈M；由E上的推导出律，M是一个左半群（习题11），其中每个左平移都是双射的（cf.习题13）。 (b) 如果M=aE和M′=a′E是最小且不同的，则M∩M′=∅；对于所有b∈M，M′到M的映射x′↦bx′是M′到M的双射映射。推论存在一个幂等u′∈M′使得bu′=b和一个幂等u∈M使得uu′=u（取u作为幂等使得bu=b）。证明u′u=u′（考虑uu′u）并且每个y′∈M′使得y′u=y′属于到M′u′。 (c) 证明M′u′到M的映射x′↦ux′是M′u′到Mu的同构；推出M和M′是同构左半群。 (d) 令 Mi (1≤i≤r) 为形式 aE 的不同最小值子集：从 (b) 推导出每个左半群 Mi 的幂等可以排列在序列 (uij) (1≤j≤s)这样 uijukj=uij 就等于所有 i,j,k。如果K是Mi的并，则证明Euij⊂K（注，对于所有x∈E，xuijE是形式aE的最小子集）；推断 Euij 是 1≤k≤r 的 ukjEukj 的并（证明 (Euij)∩Mk=ukjEukj）以及 EuijE=K。最后证明形式Eb的每个最小子集与s集合Euij之一相同（注，使用（a），Ebuijb=Eb并推导出Eb⊂K）。