习题 12, § 4

令 G 为群，使得对于固定的整数 $n > 1$，对于所有 $x \in G, y \in G$ $(xy)^n = x^n y^n$。如果$G^{(n)}$表示$x^n$的集合，其中$x$穿过$G$，且$x \in G$的$G_{(n)}$集合使得$x^n = e$，则证明$G^{(n)}$和$G_{(n)}$是正常的子群 / $G$；如果$G$是有限的，则$G^{(n)}$的阶等于$G_{(n)}$的指标。证明，对于$G$中的所有$x, y$，还有$x^{1-n} y^{1-n} = (xy)^{1-n}$并推导出$x^{n-1} y^n = y^n x^{n-1}$；由此结论形式$G$元素集合$x^{n(n-1)}$生成可交换$G$子群。