习题 17, § 4

设 G 为群且带有运算符；如果所有$G_i$都是G的正规稳定子群，则称G的合成列$(G_i)$为正规；如果正常的级数$\Sigma$是严格递减，并且不存在不同于$\Sigma$、更细、$\Sigma$和严格递减的正常级数，则称为主体。

(a) 如果$(G_i)$和$(H_j)$是G的两个正规级数，则证明存在两个分别与$(G_i)$和$(H_j)$等效的正规级数更细（通过考虑G的合适算子域来应用Schreier的定理）。通过分别在序列、$(G_i)$和$(H_j)$中“插入”子群、$G'_{ij} = G_i \cap (G_{i+1}H_j)$和$H'_{ji} = H_j \cap (H_{j+1}G_i)$，给出这个命题的第二个证明。

(b) 如果 G 具有本金级数，则 G 的任意两个本金级数是等价的；对于每个严格递减正常级数$\Sigma$，都存在一个比$\Sigma$为主的级数更细。推出，要使G 拥有本金级数，G 的正常稳定子群的集合满足的最大和最小条件是充分必要的。

(c) 如果 G 是群，没有运算符，并且拥有本金级数，并且如果 G 的子群中的集合满足最小值条件，则每商群

G_i/G_{i+1} 是简单子群同构于另一个的有限数的直乘积（使用习题 15）。