习题 25, § 4

设E为E中$E^m$的集合和$f$映射；我们写

假设$f$满足以下条件：

(1)

相同； (2) 对于所有$a_1, a_2, \ldots, a_{m-1}$、映射

是 E 到 E 的双射。

(a) 证明同样

对于每个指标$i$使得$1 \leq i \leq m-1$（通过$i$上的归纳论证，通过考虑元素

(b) 对于所有$a_1, a_2, \ldots, a_{m-2}$，存在$u \in E$，使得对于所有$x$

(c) 在集合 $E^k$ of 序列 $(u_1, u_2, \ldots, u_k)$ of $k$ 元素 of $E$ ($1 \leq k \leq m - 1$)考虑等价关系$R_k$，其中规定：对于所有$x_1, x_2, \ldots, x_{m-k}, u_1u_2\ldots u_kx_1x_2\ldots x_{m-k} = v_1v_2\ldots v_kx_1x_2\ldots x_{m-k}$；让$E_k$表示商集$E^k / R_k$和$E_1 = E, E_2, \ldots, E_{m-1}$的$G$和集合（集合理论，II, § 4, no. 8）。令 $\alpha \in E_i, \beta \in E_j$；如果$(u_1, u_2, \ldots, u_i)$是类$\alpha$中的序列，类$\beta$中的$(v_1, \ldots, v_j)$序列，则考虑序列

在 $E^{i+j}$ 如果 $i + j < m$, 序列 在 $E^{i+j-m+1}$ 如果 $i + j \geq m$；表明 $E_{i+j}$ 中的序列（或$E_{i+j-m+1}$）中的类仅取决于类、$\alpha$和$\beta$；它由$\alpha . \beta$表示。证明群运算是在$G$上定义的，$H = E_{m-1}$是$G$的正规子群，商群$G/H$是阶$m - 1$的循环；最后证明$E$与类（mod.$H$）相同，其中生成$G/H$，并且$x_1 x_2 \ldots x_m$只是合成，在群$G$，序列 $(x_1, x_2, \ldots, x_m)$。