习题 23, § 5

(a) 令$s$为群$\mathfrak{S}_n$中的阶2的元素，即$k$转置$t_1, \ldots, t_k$的乘积与不相交的相互支持。证明$\mathfrak{S}_n$中$s$的扶正器$C_s$同构于$\mathfrak{S}_{n-2k} \times A$，其中$A$承认阶$2^k$的正常子群，使得$A/B$同构于$\mathfrak{S}_k$（观察到每个$C_s$的元素置换$s$的固定点以及$t_1, \ldots, t_k$的支持）。

(b) 证明，如果 $n = 5$ 或 $n \geq 7$，$\mathfrak{S}_n$ 中阶 2 的每个元素其扶正器与转置同构，都是转置（比较这些扶正器利用习题 16 的 Jordan-Hölder 商）。推断 $\mathfrak{S}_n$ 的每一个自同构都会对转置进行置换。

(c) 如果$a, b$与$\{1, n\}$不同元素，则令$F_a$（或$F_{ab}$）表示$\mathfrak{S}_n$和$(a\ b)$转置中$a$（或$\{a, b\}$的固定者）的稳定子 $\tau_{a,b}$。 令$a, b, c, d$不同于元素与$\{1, n\}$。 证明，如果$F_{ab}$和$F_{cd}$生成$n \geq 5$、群是$\mathfrak{S}_n$（证明这个群包含所有转置；为此使用这样的事实：如果$x \in \{1, n\} - \{a, b, c, d\}$，则$(a\ c) = (c\ x)(a\ x)(c\ x)$）。 证明由 $F_{ab}$ 和 $F_{ac}$ 生成的群是 $F_a$（使用与上述情况相同的方程）。

(d) 证明 $\mathfrak{S}_n$ 的自同构 $\alpha$，使得 $\alpha(F_a) = F_a$ 对于所有 $a \in \{1, n\}$ 都是恒等式（证明 $\alpha$ 映射每个转置到自身）。证明，如果存在$a \in \{1, n\}$使得$\alpha(F_a) = F_a$，则$\alpha$是内自同构（证明存在内自同构$\beta$使得$\beta \circ \alpha$映射每个群$F_b, b \in \{1, n\}$自身）。

(e) 令$a, b$为$\{1, n\}$的两个不同的元素，令$C_{ab}$为$\mathfrak{S}_n$中$(a, b)$的中心化器。证明，如果$n \geq 5$，$C_{ab}$的导出群是$C_{ab}$中的指标 4（使用$\mathfrak{S}_{n-2}$的导出群是$\mathfrak{A}_{n-2}$这一事实）。证明$F_{ab}$是指标2中$C_{ab}$唯一的子群，它不是包含$(a\ b)$，并且不包含在$\mathfrak{A}_n$中。

(f) 证明，如果 $\mathfrak{S}_n$ 的 $n \geq 5$、自同构 $\alpha$ 留下固定转置$(a\ b)$，则为内部。 （通过（e）表明$\alpha(F_{ab}) = F_{ab}$；同样表明，如果$c \notin \{a, b\}$，$\alpha(F_{ac})$是形式$F_{ax}$，$x \notin \{a, b\}$，或者形式$F_{bx}$，$x \notin \{a, b\}$;在第一种情况结论 $\alpha(F_a) = F_a$ 并将约化应用于第一种情况，将$\alpha$乘以由$(a\ b)$定义的$\mathfrak{S}_n$的内自同构。）

(g) 从(b)和(f)推导出，如果$n = 5$或$n \geq 7$，$\mathfrak{S}_n$的每个自同构都是内部。