习题 24, § 5

(a) 证明$\mathfrak{S}_6$存在子群$H$，与$\mathfrak{S}_5$同构，且$\{1, 6\}$不固定元素（让$\mathfrak{S}_5$通过内自同构对其子群的集合进行操作） 阶 5，其中有 6 个元素）。

(b) 证明$\mathfrak{S}_6$存在自同构$\sigma$，其中映射$(1\ 2)$到$(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$。 （让$\mathfrak{S}_6$对$\mathfrak{S}_6/H$进行操作，其中$H$的选择如上所述。）

(c) 证明$\mathfrak{S}_6$的内自同构的群是$\mathfrak{S}_6$的所有自同构的群中的指标2。 （令$\alpha$为$\mathfrak{S}_6$的自同构；表明$\alpha$映射是$(1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$的转置或共轭的转置。利用习题23，表明在第一种（或第二种）情况下$\alpha$ （分别是$\alpha \circ \sigma$）是内自同构。）