习题 18, § 6

令 $n$ 为整数 $\geq 1$，并令 $G$ 为加法写成的交换律群，使得 $nx = 0$ 对于所有 $x \in G$。令$H$为$G$的子群，将$H$的$f$同态代入$\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$。 (a) 设$x \in G$且$q$为$G/H$中$x$的像中的阶；然后$qx \in H$。证明存在$\alpha \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$使得$q\alpha = f(x)$。推导$H$和$x$生成的$f$的扩张到$G$的子群是否存在。 (b) 将 $G$ 中的 $f$ 扩展到同态转化为 $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$（使用 Zorn 的引理）。