习题 21, § 6

令$p$和$q$是两个素数数，使得$p > q$。 (a) 证明阶$pq$的每个有限群$G$是$\mathbf{Z}/q\mathbf{Z}$乘$\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$的扩张（注$G$的每个Sylow$p$子群都是正规的）。若进一步$p \not\equiv 1 \pmod{q}$，则证明$G$是循环的。 (b) 推论群不能中的中心为指标69。 (c) 证明，如果$p \equiv 1 \pmod{q}$，则存在阶 $pq$ 中的群，其中心为$\{e\}$。 (d) 证明阶 6 的每个非交换群都同构于 $\mathfrak{S}_3$。