习题 26, § 6

设$G$为有限群。如果存在$G$的正常子群的$G$由……组成的合成列$(G_i)_{0 \leq i \leq n}$，使得商$G_i/G_{i+1}$是循环的，$G$被称为*超可解*。 (a) 证明超解群中的每个子群、每个商群和每个有限乘积都是超可解的。 (b) 证明幂零 $\Rightarrow$ 超可解 $\Rightarrow$ 可解，并且逆命题蕴涵是错误的。

(c) 假设 G 是超可解的。证明，如果$G \neq \{1\}$，则存在G的正规子群C，它是素数阶的循环。证明 G 的导出群 D(G) 是幂零的。证明 G 中与最大的 G 不同的每个子群都是素数指标。

(d) 如果 G 存在两个元素 $a, b$，则有限群 G 是*双环*，这样，如果$C_a$ 和$C_b$ 分别表示由$a$ 和$b$ 生成的循环子群，则$G = C_a C_b = C_b C_a$。证明每个双环群都是超解的。 (约化至证明，G中存在正常循环子群$N \neq \{1\}$。注意可能仅限于$C_a \cap C_b = \{1\}$的情况；令$m \geq n > 1$分别为$a$和$b$的阶；通过考虑元素$b^{-1} a^k$，其中$0 \leq k \leq m - 1$，表明存在整数使得$a^s \neq 1$和$b^{-1} a^s b \in C_a$；$a^s$的集合，其中性质是所需的循环子群N。）