习题 28, § 6

标签 05F3，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 05F3]。

代数, I, 154

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 G 为有限群且 $p$ 为素数数。如果阶是 $p$ 的幂（分别不能被 $p$ 整除），则元素 $s \in G$ 被称为 p-unipot（或 p-regular）。

(a) 设 $x \in G$ 。证明G 满足的元素存在唯一的有序对 $(u, t)$ ，以下条件： $u$ 是*p-单能*， $t$ 是*p-正则*， $x = ut = tu$ 。（首先考虑 G 是由 $x$ 生成的循环群的情况。）

(b) 设 P 是 G 的 Sylow $p$ -群，C 其中心化器，以及 G 的 p-regular 元素的 E 集合。证明

\operatorname{Card}(E) \equiv \operatorname{Card}(E \cap C) \pmod{p}.

推导出 $\operatorname{Card}(E) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 。（通过归纳对 $\operatorname{Card}(G)$ 和约化论证到 $C = G$ 的情况；然后用(a)证明 $\operatorname{Card}(E) = (G : P)$ 。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。