习题 33, § 6

设G是$p$群，A是自同构群。 (a) 设$(G_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$为G的合成列，使得$(G_i : G_{i+1}) = p$为

† 事实上，正如 Feit 和 Thompson, Pac 所证明的那样，这种情况是不可能的。 《数学杂志》，13 (1963)，775–1029。

0 \leq i \leq n - 1. 设 P 为子群 of 由……组成 of 自同构 u，使得对于所有 i 和所有 x \in G_i，u(x)x^{-1} \in G_{i+1}。证明，如果 P 中的元素 u \in P 与 p 是阶素数，则 u = 1（通过 n 上的归纳论证）。推出 P 是 p 群。

(b) 相反，令 P 为 A 的 p 子群。证明存在 G 的合成列 $(G_i)_{0 \leq i \leq n}$，在 P 下稳定，且$(G_i : G_{i+1}) = p$ 对于 $0 \leq i \leq n - 1$；表明 G_i 可以被选择为 G 中的正态分布。